Александр Иванович Савицкий родился в Москве 2 сентября 1887 года (по новому стилю) в семье железнодорожника.
В 1911 году окончил медицинский факультет Императорского Московского университета.
С 1912 года по 1915 год работал ординатором факультетской хирургической клиники под руководством Петра Александровича Герцена и Николая Ниловича Бурденко.
В 1915 году был призван на службу в Русскую императорскую армию, служил начальником Московского эвакуационного пункта и начальником окружного военно-санитарного управления. В годы Гражданской войны возглавлял санитарную службу Московского военного округа.
В 1921 году Савицкий был демобилизован и вернулся на кафедру хирургии медицинского факультета МГУ.
В 1938 году Александр Иванович защитил докторскую диссертацию на тему «Эзофагоскопия и её роль в клинике заболеваний пищевода».
С 1939 года по 1944 год он заведовал кафедрой хирургии Московского стоматологического института и одновременно работал уже профессором кафедры госпитальной хирургии 1-го Московского медицинского института.
Во время Великой Отечественной войны именно профессор Савицкий с группой видных врачей и ученых стал инициатором подготовки и принятия судьбоносного Постановления СНК СССР № 935 от 30 апреля 1945 года « О мероприятиях по улучшению онкологической помощи населению», реализация которого привела к созданию системы повсеместного диспансерного наблюдения и лечения онкобольных в Советском Союзе. Он сам возглавил созданную службу и стал первым главным специалистом-онкологом Министерства здравоохранения СССР (1945 г).
В 1954 году академик Савицкий выступил с программным докладом на Первом международном конгрессе, посвященном принципам организации противораковой помощи в мире, и имел невероятный успех. Это была первая в мире государственная программа доступной системной онкологической помощи. Созданная им система до сих пор является основой организации онкологической помощи в Российской Федерации и многих странах СНГ.
В 1960 году он был избран действительным членом (академиком) АМН СССР.
В 1955 году по инициативе Александра Ивановича было создано Всесоюзное научное общество онкологов, председателем которого он являлся на протяжении многих лет.
Академик Савицкий был награжден двумя орденами Ленина, Золотой Звездой Героя Социалистического труда, орденом Трудового Красного знамени, орденом «Знак Почета» и имел воинское звание бригадного врача запаса.
Скончался Александр Иванович 1 июня 1973 года в Москве.
В 2021 году в знак глубокого признания заслуг медицинских специалистов, лечебных учреждений и общественных организаций в борьбе с онкологическими заболеваниями Ассоциацией онкологов России и Российским обществом клинической онкологии была учреждена Премия им. академика А.И. Савицкого. Премия стала данью памяти выдающемуся врачу и ученому Александру Ивановичу Савицкому, стоявшему у истоков онкологической службы в нашей стране.